Trong thống kê, khi phân tích dữ liệu định lượng, ngoài việc quan tâm đến giá trị trung bình, người nghiên cứu còn cần đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu. Một trong những thước đo quan trọng nhất phản ánh mức độ này chính là phương sai. Hiểu rõ công thức phương sai giúp người học thống kê và người làm phân tích dữ liệu định lượng đánh giá chính xác mức độ biến động của tập dữ liệu, từ đó đưa ra nhận định và quyết định phù hợp.

Bài viết này do xulysolieu.info (Xử lý số liệu) biên soạn, nhằm giải thích rõ ràng phương sai là gì, bản chất của variance, công thức phương sai và cách diễn giải ý nghĩa của nó trong thống kê mô tả và phân tích dữ liệu.

Phương sai (Variance) là gì?

Phương sai, trong tiếng Anh là variance, là một đại lượng thống kê dùng để đo mức độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Nói cách khác, phương sai cho biết các giá trị trong tập dữ liệu nằm xa hay gần giá trị trung bình đến mức nào.

Trong thống kê, phương sai thường được ký hiệu là σ² đối với tổng thể và s² đối với mẫu. Đây là một chỉ tiêu cốt lõi trong thống kê mô tả, được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, tài chính, y học và khoa học xã hội.

Khi nhắc đến công thức phương sai, cần hiểu rằng đây không chỉ là một phép tính kỹ thuật mà còn là công cụ để đánh giá độ phân tán dữ liệu và mức độ biến động của hiện tượng nghiên cứu.

Ý nghĩa của phương sai trong thống kê mô tả

Trong thống kê mô tả, phương sai giúp trả lời câu hỏi: dữ liệu có phân tán nhiều hay không? Hai tập dữ liệu có cùng giá trị trung bình nhưng phương sai khác nhau sẽ phản ánh mức độ biến động hoàn toàn khác nhau.

Một phương sai lớn cho thấy dữ liệu phân tán mạnh, các giá trị nằm xa trung bình và mức độ biến động cao. Ngược lại, phương sai nhỏ cho thấy dữ liệu tập trung quanh trung bình và ít biến động. Nếu phương sai bằng 0, điều đó có nghĩa tất cả các giá trị trong tập dữ liệu là giống hệt nhau.

Do đó, công thức phương sai đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả cấu trúc dữ liệu, đặc biệt khi phân tích dữ liệu định lượng.

Công thức phương sai

Về bản chất, công thức phương sai được xây dựng dựa trên khoảng cách giữa từng giá trị quan sát và giá trị trung bình của tập dữ liệu. Các bước tính toán được thực hiện theo trình tự logic nhằm đảm bảo mọi sai lệch đều được ghi nhận.

Các bước cơ bản của công thức phương sai bao gồm:

• Tính giá trị trung bình của tập dữ liệu.
• Xác định độ lệch của từng quan sát so với giá trị trung bình.
• Bình phương các độ lệch để loại bỏ dấu âm.
• Tính trung bình của các độ lệch bình phương.

Dạng tổng quát của công thức phương sai tổng thể:

σ² = Σ(x_i − μ)² / n

Trong đó:

• x_i là giá trị của quan sát thứ i
• μ là giá trị trung bình của tổng thể
• n là số lượng quan sát

Đây là công thức phương sai được sử dụng khi dữ liệu bao gồm toàn bộ tổng thể.

Công thức phương sai mẫu

Trong thực tế nghiên cứu, chúng ta thường chỉ có dữ liệu mẫu thay vì dữ liệu tổng thể. Khi đó, công thức phương sai cần được điều chỉnh để tránh ước lượng sai lệch.

Công thức phương sai mẫu được viết như sau:

s² = Σ(x_i − x̄)² / (n − 1)

Việc chia cho (n − 1) thay vì n giúp ước lượng phương sai tổng thể không bị đánh giá thấp. Đây là điểm rất quan trọng khi áp dụng công thức phương sai trong phân tích dữ liệu định lượng.

Mối quan hệ giữa phương sai và độ lệch chuẩn

Một đặc điểm quan trọng của phương sai là đơn vị đo của nó là bình phương đơn vị của dữ liệu gốc, điều này khiến phương sai khó diễn giải trực tiếp. Vì lý do này, người ta thường sử dụng căn bậc hai của phương sai, gọi là độ lệch chuẩn.

Độ lệch chuẩn giúp đưa thước đo độ phân tán dữ liệu trở về cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu, từ đó dễ hiểu và dễ trình bày hơn. Tuy vậy, công thức phương sai vẫn là nền tảng để tính toán và hiểu bản chất của độ lệch chuẩn.

Cách sử dụng phương sai trong phân tích dữ liệu định lượng

Trong phân tích dữ liệu định lượng, phương sai được sử dụng để:

• So sánh mức độ biến động giữa các tập dữ liệu.
• Đánh giá rủi ro trong các bài toán tài chính và đầu tư.
• Làm cơ sở cho nhiều công thức thống kê nâng cao.
• Kiểm tra giả định trong các mô hình phân tích.

Trong tài chính, phương sai lợi nhuận của tài sản là chỉ tiêu phản ánh mức độ rủi ro. Một tài sản có phương sai lợi nhuận cao thường đi kèm với mức biến động lớn, đồng nghĩa với rủi ro cao hơn.

Nhờ công thức phương sai, nhà phân tích có thể lượng hóa rủi ro và đưa ra chiến lược phân bổ tài sản hợp lý.

Ưu điểm của phương sai

Phương sai có nhiều ưu điểm trong thống kê mô tả:

• Xem xét toàn bộ sai lệch của các quan sát so với trung bình.
• Không bị triệt tiêu sai lệch do các giá trị âm và dương.
• Là nền tảng cho nhiều phương pháp phân tích thống kê.

Nhờ những đặc điểm này, công thức phương sai trở thành công cụ chuẩn trong phân tích độ phân tán dữ liệu.

Hạn chế của phương sai

Bên cạnh ưu điểm, phương sai cũng tồn tại một số hạn chế:

• Nhạy cảm với các giá trị ngoại lai do việc bình phương sai lệch.
• Khó diễn giải trực tiếp vì đơn vị đo bị bình phương.
• Ít được trình bày trực tiếp trong báo cáo thực tế.

Chính vì vậy, trong nhiều trường hợp, người phân tích sử dụng độ lệch chuẩn để trình bày, nhưng vẫn dựa trên công thức phương sai để tính toán.

Ví dụ minh họa công thức phương sai

Giả sử lợi nhuận của một cổ phiếu trong ba năm lần lượt là 10%, 20% và -15%.

Bước 1: Tính giá trị trung bình: (10 + 20 – 15) / 3 = 5%

Bước 2: Tính độ lệch so với trung bình: 5%, 15% và -20%

Bước 3: Bình phương các độ lệch: 25, 225 và 400

Bước 4: Tính trung bình các độ lệch bình phương:

(25 + 225 + 400) / 3 = 216,67

Kết quả này chính là phương sai. Lấy căn bậc hai của giá trị trên sẽ thu được độ lệch chuẩn khoảng 14,72%.

Ví dụ trên cho thấy cách công thức phương sai được áp dụng trực tiếp trong phân tích dữ liệu định lượng và tài chính.

Kết luận

Phương sai là một thước đo cốt lõi trong thống kê mô tả, giúp đánh giá mức độ phân tán dữ liệu xung quanh giá trị trung bình. Việc nắm vững công thức phương sai không chỉ giúp người học thống kê hiểu rõ bản chất của dữ liệu mà còn là nền tảng cho nhiều phương pháp phân tích nâng cao.

Trong thực tế phân tích dữ liệu định lượng, phương sai thường được sử dụng kết hợp với độ lệch chuẩn và các công cụ thống kê khác để đưa ra nhận định chính xác và có ý nghĩa.