Trang chủ » Kiến thức SPSS » Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn: Công thức tính, ý nghĩa và ví dụ dễ hiểu

Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn: Công thức tính, ý nghĩa và ví dụ dễ hiểu

Trong phân tích thống kê, nếu bạn chỉ nhìn vào “giá trị trung bình” thì vẫn chưa đủ để hiểu dữ liệu. Hai tập dữ liệu có cùng trung bình có thể khác nhau hoàn toàn về mức độ phân tán. Đó là lý do vì sao cách tính phương sai và độ lệch chuẩn trở thành kỹ năng nền tảng trong học tập và làm việc với dữ liệu định lượng. Bài viết này từ xulysolieu.info (Xử lý số liệu) sẽ hướng dẫn cách tính phương sai và độ lệch chuẩn theo đúng công thức, giải thích ý nghĩa, kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm chắc bản chất.

Mục lục

1) Phương sai và độ lệch chuẩn là gì?

Trước khi đi vào cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, bạn cần hiểu bản chất của hai chỉ số này:

Phương sai (variance) đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh giá trị trung bình. Phương sai càng lớn, dữ liệu càng “dao động” mạnh và ít tập trung.
Độ lệch chuẩn (standard deviation) là căn bậc hai của phương sai, có cùng đơn vị với dữ liệu gốc nên dễ diễn giải hơn.

Trong dữ liệu định lượng, cách tính phương sai và độ lệch chuẩn giúp bạn trả lời nhanh: dữ liệu có ổn định không, mức độ biến động có cao không, và nhóm nào phân tán hơn.

2) Khi nào nên dùng cách tính phương sai và độ lệch chuẩn?

Trong phân tích thống kê, cách tính phương sai và độ lệch chuẩn thường được sử dụng khi bạn cần:

So sánh mức độ biến động giữa hai nhóm dữ liệu định lượng.
Đánh giá độ ổn định của điểm số, doanh thu, thời gian hoàn thành, cân nặng, nhiệt độ…
Chuẩn bị dữ liệu cho các bước phân tích sâu hơn như hồi quy, kiểm định, mô hình hóa.

Nắm chắc cách tính phương sai và độ lệch chuẩn giúp bạn tránh đánh giá sai dữ liệu chỉ vì nhìn vào trung bình.

3) Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn với mẫu số liệu rời rạc

Giả sử bạn có mẫu số liệu gồm n giá trị: x1, x2, …, xn. Ký hiệu trung bình mẫu là x̄.

3.1 Công thức phương sai mẫu

Trong chương trình học phổ thông và thống kê cơ bản, phương sai mẫu (ký hiệu S²) được tính bằng:

S² = (1/n) × [(x1 − x̄)² + (x2 − x̄)² + … + (xn − x̄)²]

Đây là công thức cốt lõi trong cách tính phương sai và độ lệch chuẩn: bạn lấy từng giá trị trừ trung bình, bình phương, rồi cộng lại và chia cho n.

3.2 Công thức độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn S là căn bậc hai của phương sai:

S = √(S²)

Trong cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, độ lệch chuẩn thường được ưu tiên khi diễn giải vì nó cùng đơn vị với dữ liệu.

3.3 Công thức biến đổi để tính nhanh

Để tính nhanh hơn, bạn có thể dùng công thức biến đổi:

S² = (1/n) × (x1² + x2² + … + xn²) − x̄²

Công thức này rất hữu ích khi bạn làm phân tích thống kê với dữ liệu định lượng có nhiều giá trị.

3.4 Phương sai hiệu chỉnh

Trong thống kê ứng dụng, người ta còn dùng phương sai hiệu chỉnh (thường ký hiệu ŝ²) để ước lượng phương sai tổng thể từ mẫu:

ŝ² = (1/(n − 1)) × [(x1 − x̄)² + … + (xn − x̄)²]

Đây cũng là một phần quan trọng khi học cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, nhất là trong các môn thống kê và xác suất.

4) Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn khi dữ liệu ở dạng bảng tần số

Nhiều trường hợp dữ liệu định lượng được tổng hợp dưới dạng bảng tần số. Khi đó, ta có các giá trị x1, x2, …, xk với tần số tương ứng n1, n2, …, nk và n = n1 + n2 + … + nk.

4.1 Công thức phương sai theo bảng tần số

S² = (1/n) × [n1(x1 − x̄)² + n2(x2 − x̄)² + … + nk(xk − x̄)²]

4.2 Công thức biến đổi theo bảng tần số

S² = (1/n) × (n1x1² + n2x2² + … + nkxk²) − x̄²

Trong thực hành, đây là cách tính phương sai và độ lệch chuẩn rất phổ biến khi bạn làm bài tập thống kê mô tả hoặc tổng hợp dữ liệu khảo sát.

5) Ví dụ minh họa cách tính phương sai và độ lệch chuẩn

Ví dụ 1: Điểm Toán của 10 học sinh

Dữ liệu: 10; 9; 5; 6; 1; 5; 7; 9; 5; 6.

Bước 1: Tính trung bình:

x̄ = (10 + 9 + 5 + 6 + 1 + 5 + 7 + 9 + 5 + 6) / 10 = 6,3

Bước 2: Áp dụng cách tính phương sai và độ lệch chuẩn bằng công thức:

S² = (1/10) × [ (10−6,3)² + 2(9−6,3)² + (7−6,3)² + 2(6−6,3)² + 3(5−6,3)² + (1−6,3)² ]

Kết quả: S² = 6,21

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn:

S = √6,21 ≈ 2,492

Qua ví dụ này, cách tính phương sai và độ lệch chuẩn cho thấy điểm số phân tán tương đối quanh trung bình 6,3.

Ví dụ 2: Cân nặng của 10 sinh viên

Dữ liệu (kg): 59,0; 45,5; 52,7; 47,9; 40,7; 48,3; 52,1; 43,1; 55,2; 45,3.

Bước 1: Trung bình:

x̄ = (tổng 10 giá trị) / 10 = 48,98

Bước 2: Phương sai theo cách tính phương sai và độ lệch chuẩn:

S² = 29,3076

Bước 3: Độ lệch chuẩn:

S = √29,3076 ≈ 5,4136

Diễn giải: độ lệch chuẩn khoảng 5,41 kg cho thấy cân nặng trong nhóm dao động khá rõ.

6) Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn trong phân tích thống kê

Hiểu cách tính phương sai và độ lệch chuẩn là một chuyện, nhưng diễn giải đúng mới là phần quan trọng trong phân tích dữ liệu định lượng:

Phương sai lớn: dữ liệu phân tán mạnh, độ ổn định thấp.
Phương sai nhỏ: dữ liệu tập trung quanh trung bình, ổn định hơn.
Độ lệch chuẩn cho biết mức “lệch điển hình” so với trung bình.

Trong variance và standard deviation, độ lệch chuẩn thường được dùng để so sánh mức biến động giữa các tập dữ liệu có cùng đơn vị đo.

7) Bài tập tự luyện (kèm gợi ý cách làm)

Dưới đây là các bài tập giúp bạn luyện cách tính phương sai và độ lệch chuẩn. Khi làm, hãy theo 3 bước chuẩn: tính trung bình → tính phương sai → lấy căn để ra độ lệch chuẩn.

Bài 1: Dữ liệu điểm giữa kỳ theo bảng tần số (nhiều mức điểm và số sinh viên tương ứng). Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn. Gợi ý: Dùng công thức theo bảng tần số để rút gọn phép tính.
Bài 2: Bảng số liệu điểm theo thang 4 và số môn tương ứng. Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn. Gợi ý: Tính x̄ bằng trung bình có trọng số theo tần số.
Bài 3: Số huy chương vàng qua các năm 2015–2019. Tính phương sai của dãy số liệu. Gợi ý: Đây là dữ liệu rời rạc, dùng công thức S² với n = 5.
Bài 4: Nhiệt độ trung bình Nam Định giai đoạn 2010–2019. Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn. Gợi ý: Cẩn thận khi bình phương số thập phân, có thể dùng công thức biến đổi để tính nhanh.
Bài 5: Đánh giá sản phẩm trên Shopee theo mức sao và số lượt. Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn. Gợi ý: Đây là bảng tần số, dùng công thức theo tần số để tính nhanh.

Luyện đều các bài này sẽ giúp bạn nắm vững cách tính phương sai và độ lệch chuẩn trong nhiều dạng dữ liệu định lượng khác nhau.

8) Kết luận

Cách tính phương sai và độ lệch chuẩn là kiến thức trọng tâm trong phân tích thống kê và làm việc với dữ liệu định lượng. Phương sai (variance) phản ánh mức độ phân tán của dữ liệu quanh trung bình, còn độ lệch chuẩn (standard deviation) giúp diễn giải mức dao động theo đúng đơn vị gốc. Khi bạn nắm chắc cách tính phương sai và độ lệch chuẩn, việc đọc bảng số liệu, so sánh nhóm và phân tích dữ liệu sẽ rõ ràng và chính xác hơn.

Nếu bạn cần hỗ trợ tính toán, kiểm tra kết quả, hướng dẫn giải bài tập hoặc ứng dụng cách tính phương sai và độ lệch chuẩn vào báo cáo phân tích thống kê, hãy liên hệ xulysolieu.info (Xử lý số liệu) qua số 0878968468.