Trong phân tích dữ liệu và thống kê, đặc biệt là khi sử dụng phần mềm như SPSS hoặc AMOS, hai khái niệm eigenvalue và eigenvector xuất hiện rất thường xuyên. Nếu bạn đang học hoặc làm việc với Exploratory Factor Analysis (EFA) hay Confirmatory Factor Analysis (CFA), việc hiểu rõ eigenvalue là gì và cách diễn giải giá trị riêng trong ma trận là nền tảng bắt buộc. Bài viết dưới đây của xulysolieu.info sẽ giúp bạn nắm rõ bản chất, công thức tính, cách diễn giải cũng như ví dụ cụ thể của eigenvalue một cách dễ hiểu nhất.

1. Eigenvalue là gì?

Eigenvalue, còn gọi là giá trị riêng, là một đại lượng mô tả mức độ “đóng góp” của từng nhân tố (factor) hoặc biến tiềm ẩn trong mô hình phân tích. Trong đại số tuyến tính, eigenvalue thể hiện hệ số mà khi ma trận tuyến tính nhân với một vector (gọi là eigenvector), vector đó chỉ bị thay đổi độ lớn chứ không thay đổi hướng.

Công thức cơ bản:

A · v = λ · v

Trong đó:

• A: Ma trận vuông đại diện cho phép biến đổi tuyến tính
• v: Eigenvector tương ứng
• λ (lambda): Eigenvalue hay giá trị riêng

Nếu xem quá trình biến đổi tuyến tính như việc xoay, kéo giãn hoặc nén các vector, thì eigenvalue thể hiện mức độ giãn nở hay co lại của vector sau khi biến đổi.

2. Eigenvector là gì?

Eigenvector, hay vector riêng, là vector không thay đổi hướng khi chịu tác động của ma trận tuyến tính A. Nói cách khác, khi A tác động lên v, vector kết quả vẫn nằm trên cùng một đường với v, chỉ khác về độ dài.

Tóm tắt:

• Eigenvector cho biết hướng chính của dữ liệu.
• Eigenvalue cho biết độ mạnh (mức độ biến thiên) theo hướng đó.

Trong phân tích EFA, các eigenvector là trục nhân tố (factor loading), còn eigenvalue giúp xác định số lượng nhân tố cần giữ lại.

3. Cách tính eigenvalue trong ma trận

Để tìm eigenvalue, ta giải phương trình đặc trưng (characteristic equation):

det(A − λI) = 0

Trong đó det là định thức, I là ma trận đơn vị, λ là biến cần tìm. Khi giải phương trình này, ta thu được các giá trị λ — chính là các eigenvalue của ma trận A.

Ví dụ:

A = [[2, 1],
     [1, 2]]
det(A − λI) = (2 − λ)^2 − 1 = 0
⇒ λ₁ = 3, λ₂ = 1

4. Ý nghĩa của eigenvalue trong thống kê và EFA

Trong Exploratory Factor Analysis (EFA), eigenvalue trong EFA được dùng để quyết định số lượng nhân tố giữ lại. Mỗi eigenvalue thể hiện lượng phương sai mà một nhân tố giải thích trong tập dữ liệu.

• Eigenvalue > 1: Giữ lại nhân tố (giải thích nhiều phương sai hơn một biến quan sát).
• Eigenvalue < 1: Loại nhân tố (đóng góp ít).

Tổng các eigenvalue bằng tổng phương sai được giải thích (total variance explained). Nhờ đó bạn đánh giá được mức độ khái quát của các nhân tố trích được.

5. Ví dụ eigenvalue trong thực tế

Giả sử chạy EFA cho 10 biến quan sát trên xulysolieu.info, nhận được:

Tổng eigenvalue của hai nhân tố đầu là 6.35, giải thích 63.5% phương sai. Theo quy tắc Kaiser, giữ lại 2 nhân tố có eigenvalue > 1.

6. Cải thiện kết quả khi eigenvalue chưa đạt

• Loại biến yếu: Loại biến có tải nhân tố thấp (thường < 0.5) để tăng độ rõ ràng cấu trúc.
• Tăng kích thước mẫu: Cỡ mẫu lớn giúp eigenvalue ổn định hơn.
• Dùng phép quay (rotation): Varimax/Promax giúp tái phân bố phương sai giữa các nhân tố.

Các bước thực hành chi tiết thường được hướng dẫn tại xulysolieu.info của Xử lý số liệu.

7. Tóm tắt công thức và diễn giải eigenvalue

8. Kết luận

Hiểu rõ eigenvalue là gì và eigenvector là gì giúp nắm vững nền tảng các kỹ thuật phân tích đa biến trong SPSS và AMOS. Trong EFA, eigenvalue đóng vai trò cốt lõi để xác định số lượng nhân tố tối ưu, còn eigenvector thể hiện hướng chính của biến tiềm ẩn. Tóm lại, eigenvalue cho biết mức độ giải thích phương sai và eigenvector chỉ ra hướng tác động.

Để thực hành chi tiết hơn, tham khảo các bài hướng dẫn trực quan tại xulysolieu.info — nền tảng chuyên sâu về xử lý số liệu, EFA, CFA và phân tích thống kê ứng dụng.